|
چکیده
|
مسئله بازسازی تصویر در حالت کلی از جمله مسائل معکوس می‌باشد که با گسسته‌سازی این مسئله به دستگاه معادلات خطی $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ می‌رسیم که در آن $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ و $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m$. این دستگاه معادلات معمولاً بزرگ و بدوضع می‌باشد، به همین دلیل بهترین راه برای حل آن استفاده از روش‌های تکراری است. از معایب روش‌های تکراری می‌توان به پدیده نیمه‌همگرایی اشاره کرد که به علت وجود نویز در سمت راست مسئله حاصل می‌شود. بطور خلاصه، در پدیده نیمه‌همگرایی، تکرارهای اول به سمت جواب دقیق حرکت می‌کنند در حالیکه بعد از چند تکرار به سمت جواب خام یا همان جواب مساله کمترین مربعات $\min_{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n}\|A\mathbf{x}-\mathbf{b}\|^2$ نزدیک می‌شویم. موضوع وجود نویز در بردار سمت راست در پژوهش‌های بسیاری مورد مطالعه قرار گرفته است اما وجود نویز در ماتریس ضرایب نیز که طبیعی است، به ندرت بررسی شده است. در این پایان‌نامه، بنا داریم تاثیرات وجود نویز در ماتریس ضرایب و همچنین عدم تطابق عملگرهای تابش و بازتابش را مورد تحلیل و بررسی قرار دهیم. بعد از مشخص شدن دامنه تغییرات جواب در حضور نویز، بایستی یک روش تکراری متناسب با شرایط جدید را استفاده کرد. بدین منظور از روش GMRES برای حل مسئله فوق استفاده می‌کنیم و ارتباط این روش با سایر روش‌های تکراری نظیر LSQR و LSMR را بررسی می‌کنیم. در ادامه با استفاده از مسئله آزمون‌هایی در حوزه توموگرافی کامپیوتری، محاسن و معایب این روش را مورد تجزیه و تحلیل قرار می‌دهیم. این پایان‌نامه از مرجع زیر الهام گرفته است: Hansen, Per Christian, Ken Hayami, and Keiichi Morikuni. {\it GMRES methods for tomographic reconstruction with an unmatched back projector.}, {\em J. Comput. Appl. Math.}, {\bf 413}, (2022), 114352.
|